ΧΩΡΟΧΡΟΝΙΚΑ ΚΒΑΝΤΑ
. Θα αποδώσουµε µια φυσική σηµασία στην έννοια του «
κβαντικού γεγονότος
» του επίπεδου χωρόχρονου: του σηµείου στο χώρο και της στιγµής στο χρόνο. Έχοντας συνδέσει τις γεωδαισιακές του χωρόχρονου µε τις τροχιές ελεύθερων σωµάτων, θα προκύψει ότι η ερµηνεία µας των σηµείων και των στιγµών θα σχετίζεται µε τα σώµατα και τις κινήσεις τους. Αν (ε) είναι κοσµική γραµµή ενός σώµατος µεταξύ των γεγονότων Α
1
(χ
1
,t
1
) και Α
2
(χ
2
, t
2
) δεχόµαστε ότι η απόσταση χ
2
-χ
1
ισούται µε έναν πεπερασµένο αριθµό
«σηµείων
» µε µήκος
s
q
=h/p
όπου h η σταθερά του Planck και p η ορµή του σώµατος δηλαδή x
2
-x
1
=nh/p …….(1) το σηµείο της γεωµετρίας έχει διαστάσεις.
3
Ακόµα η διαφορά t
2
-t
1
=nh/E ………..(2) όπου Ε η ενέργεια του σώµατος και
t
q
=h/Ε
είναι η «
στιγµή»
στο χρόνο της πορείας του σώµατος. Το υλικό σώµα δεν µπορεί να διαγράψει τροχιά µικρότερη του s
q
=h/p και η περιγραφή της συµπεριφοράς του περιορίζεται χρονικά από το t
q
=h/Ε. οι δύο αυτές ποσότητες είναι το σηµείο και η στιγµή γ για τη δοθείσα κοσµική ακτίνα. Από τις (1) και (2) η ποσοτικοποίηση της κβάντωσης της δράσης είναι άµεση και φυσική, αφού ∆ράση=(ενέργεια )χ(χρόνο)=Ε.nt
q
=nh nЄN ………(3)
AΡΧΕΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ
. Η φυσική «ύπαρξη» του σηµείου του χωρόχρονου θα δώσει νέα ερµηνεία στις αρχές αβεβαιότητας. Είναι γνωστό ότι κάθε µέτρηση ενός φυσικού µεγέθους προκαλεί µεταβολή της κατάστασης του συστήµατος στο οποίο λαµβάνει χώρα η µέτρηση. Συγκεκριµένα , η διαταχή του µικρο-σωµατιδίου δεν είναι αµελητέα. Η διαταραχή αυτή προκαλείται από την εφαρµογή µιας δύναµης F σε αυτό , η οποία θα δράσει για ένα χωρικό διάστηµα ∆χ και ένα χρονικό επίσης ∆t της ιστορίας του σωµατιδίου που µετρούµε. Η παρατήρηση δεν είναι ακαριαία άρα η δράση της F θα επιφέρει µεταβολή στο µετρούµενο µέγεθος. Αυτή είναι η αβεβαιότητα στις τιµές µέτρησης της ορµής και της ενέργειας Τα διαστήµατα αυτά δεν µπορούν να είναι όσο µικρά επιθυµούµε: Τα ∆χ=ns
q
και ∆t=n΄t
q
οσοδήποτε ακριβείς είναι οι πειραµατικές συνθήκες. Τότε η δύναµη F, που ασκείται στο σώµα , για ένα πεπερασµένο χωρικό και χρονικό διάστηµα κατά τη συνεχή θεώρηση, θα µεταβάλλει την ορµή και την ενέργεια του σώµατος σύµφωνα µε τους τύπους ∆p=F∆t ……..(4) ∆E=F∆x………….(5)
4
όπου οι µεταβολές ∆p και ∆Ε εκφράζουν για τους σκοπούς της πειραµατικής µέτρησης τις αβεβαιότητες στα µεγέθη της ορµής και της ενέργειας αφού τα ∆χ και ∆t είναι «κενά» στο χώρο και στο χρόνο του σώµατος, δεν συµπιέζονται από οποιαδήποτε ακρίβεια. Αυτό σηµαίνει ότι οι αβεβαιότητες είναι µη ποσοτικά ορίσιµες µεταβολές. Απαλείφοντας την F από τις (4) και (5) έχουµε ∆P.∆χ=∆Ε.∆t και αφού κάθε µέλος της σχέσης έχει διαστάσεις δράσεως έχουµε τελικά ∆p.∆χ=∆Ε.∆t=nh …………(6) H νέα ερµηνεία της (6) είναι ότι αφού το σηµείο στο χώρο και η στιγµή στο χρόνο έχουν αποκτήσει διαστάσεις , οι αβεβαιότητες της (6) εκφράζουν την ασυνέχεια την οποία ο χωρόχρονος αποδίδει στην ιστορία των υλικών σωµάτων. Οπωσδήποτε , η ερµηνεία τους επεκτείνεται πέρα από την πειραµατική µέτρηση. Η ∆Ε.∆t≥h ερµηνεύεται ως εξής: η µεταβολή της ενέργειας κατά ∆Ε δεν µπορεί να συµβεί ακαριαία, στιγµιαία, αλλά µέσα σε κάποιο πεπερασµένο χρονικό διάστηµα nh/∆Ε. Ο ελάχιστος χρόνος για τη µεταβολή είναι ∆t=h/∆Ε. Για το διάστηµα ∆t,
Πρόταση 1
.
παραβιάζεται η αρχή της διατηρήσεως της ενέργειας
η οποία αποκαθίσταται στο τέλος του διαστήµατος . Παρόµοια η µεταβολή της ορµής κατά ∆p απαιτεί κάποιο διάστηµα του χώρου για να συµβεί. Το µικρότερο διάστηµα είναι το h/∆p. Αυτό είναι το
σηµείο µεταβολής της ορµής
όπως ακριβώς το h/∆Ε είναι η στιγµή της µεταβολής της ενέργειας κατά ∆Ε.
ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ
ΣΤΗΝ ΚΥΜΑΤΙΚΗ
. Η νέα ερµηνεία των αρχών αβεβαιότητας µας οδηγεί σε δύο σηµαντικά συµπεράσµατα στην κυµατική θεωρία.
5
Μπορούµε να δώσουµε µια νέα έκφραση για την ποσότητα ενέργειας η οποία εκπέµπεται µέσω του κύµατος και για το ποσό της ορµής µέσα σε διάστηµα ενός µήκους κύµατος. Έστω Α σηµείο του χώρου διάδοσης του κύµατος και Ε
Τ
η ενέργεια σε αυτό σε µια περίοδο Τ. τότε από τον τύπο (6)έχουµε Ε
τ
≥hν ………(7) ∆ηλαδή η ενέργεια του κύµατος ανά περίοδο, κβαντώνεται από το hν και έτσι τα ακουστικά φωνόνια αντιστοιχούν στα ηχητικά κύµατα. Επίσης από την (6) έχουµε P=nh/λ =nhk ……….(8) ∆ηλαδή αντιστοιχίζουµε ορµή στα φωνόνια , όπου κ ο κυµαταριθµός του ηχητικού κύµατος. Οι σχέσεις (7) και (8) ισχύουν σε κάθε κύµα µε στοιχεία ν, λ και κ. οι σχέσεις αυτές θα µας χρησιµεύσουν στη συνέχεια.
ΤΟ ΦΩΤΟΝΙΟ
. Εδώ θα ερµηνεύσουµε τη σωµατιδιακή φύση του φωτός, αποδίδοντάς την στο χωρόχρονο. Στο σηµείο Α της διάδοσης της ηλεκτροµαγνητικής θεωρίας έχουµε την εµφάνιση ενέργειας Ε=∆Ε σε χρόνο Τ=∆t. Όπως προκύπτει από την (6) Ε=nh/T=nhν……………(9) Όµως αν δεχτούµε αυτή την µεταβολή της ενέργειας σε µια περίοδο του φωτεινού κύµατος ως
Πρόταση 2
.
την ταχύτερη µεταβολή στη φύση
τότε από την (9) προκύπτει ότι Ε=hν δηλαδή η ενέργεια ανά περίοδο είναι hν. Η δράση της ενεργεί ασυνεχώς αν και η φύση της µεταβολής της είναι συνεχής, αφού σε κάποιον µικρότερο χρόνο η αρχή διατηρήσεως της ενέργειας παραβιάζεται:
η στιγµή της µεταβολής είναι η περίοδος Τ.
Έτσι στο τέλος κάθε περιόδου, εµφανίζεται στις αλληλεπιδράσεις η ποσότητα της ενέργειας hν. Η εικόνα αυτή υπάρχει σε κάθε σηµείο της διαδροµής του φωτός. Συνεπώς το «φαινόµενο» διαδίδεται µε ταχύτητα c, δηλαδή έχουµε την εµφάνιση ενέργειας hν ανά περίοδο δίνοντας υπόταση στην ασυνέχεια της φωτεινής ακτίνας, την σωµατιδιακή συµπεριφορά του φωτός (φωτοηλεκτρικό φαινόµενο).
6
Η εικόνα αυτή µας λέει ότι το φωτόνιο δεν είναι του ίδιου status µε το υλικό σώµα όσον αφορά την υπόσταση και την κίνησή του.
Το φωτόνιο εδώ και εκεί δεν είναι το ίδιο .
∆εν είναι δηλαδή το ίδιο φωτόνιο που µετακινείται όπως το σωµατίδιο, αλλά είναι διαφορετικές φέτες hν της ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας, η οποία τεµαχίζεται από την δυναµική ύπαρξη του χωρόχρονου. Η διάδοση του φαινοµένου που δηµιουργεί αυτόν τον τεµαχισµό, είναι ισοδύναµη σε περιγραφή, µε τη µετατόπιση της ποσότητας ενέργειας hν , άρα και µε µεταφορά ορµής p=h/λ. Τώρα η σωµατιδιακή περιγραφή, άρα και πραγµατικότητα, είναι πλήρης. Το φωτόνιο εκφράζει το αποτέλεσµα της χωροχρονικής κβάντωσης στην ακτινοβολία του Maxwell.
ΥΛΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ
. Θα προσπαθήσουµε να «δούµε» την κίνηση ενός σωµατιδίου µέσα στο διάστηµα S
q
. To S
q
δεν είναι απόσταση στην τροχιά του κινητού, είναι συνδεδεµένο µε το χρονικό κβάντο t
q
, και µέσα σε αυτά δεν ισχύουν οι αρχές διατηρήσεως. Αν διατηρούσαµε την εικόνα του συνεχούς χωρόχρονου, η ταχύτητα του σώµατος θα έπρεπε να είναι c
2
/u , γεγονός που καταστρέφει τη σωµατιδιακή εικόνα (περιγραφή). Η αποκατάσταση της περιγραφής θα γίνει µέσω της (8). Είδαµε ότι η µικρότερη ορµή που µεταφέρεται από το κύµα είναι p=h/λ ……. (9). Συγκρίνοντας την (9) µε την (1) φαίνεται ότι η ορµή του σώµατος είναι ίση µε την ορµή του κύµατος µε µήκος λ= S
q
. Η ταυτότητα των περιγραφών αποδίδει µια ταυτότητα στην πραγµατικότητα, αφού η
πραγµατικότητα αποδίδεται µέσω της χωροχρονικής περιγραφής.
Καθώς
είναι αδύνατο να περιγράψουµε τη µικροσκοπική κίνηση µε σωµατιδιακά χαρακτηριστικά χωρίς το S
q
, τότε για αποστάσεις συγκρίσιµες µε το S
q
περιγράφεται, δηλαδή γίνεται, ένα κύµα µε χαρακτηριστικά λ=h/p ταχύτητα c
2
/u και T=t
q
. Αυτό είναι το υλικό κύµα de Broglie , από το οποίο κατασκευάζεται το κυµατόδεµα µε οµαδική ταχύτητα την u.
7
Έτσι µε η αποδοχή των κβάντων του χώρου και του χρόνου, η µόνη δυνατότητα περιγραφής της ύλης στο πολύ µικρό, είναι η κυµατική. Η ασυνέχεια του χώρου και του χρόνου είναι η βάση της κβαντικής περιγραφής.
ΑΛΛΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ
. Μια επέκταση των ιδεών αυτών βρίσκεται στη σχέση της κίνησης των σωµάτων, και της µαθηµατικής της περιγραφής. Τα παράδοξα του Ζήνωνα που οφείλονται ακριβώς στη µεταφορά των στοιχείων της κίνησης στους αριθµούς –τα σηµεία του συνεχούς της ευθείας- τώρα δεν υφίστανται. Η διαδροµή ΑΒ του παράδοξου της διχοτοµίας (άρθρο τα παράδοξα του Ζήνωνα mpantes on scribd) αποτελείται από πεπερασµένο –αν και πολύ µεγάλο – αριθµό χωρικών βηµάτων του κινητού, τα οποία τελειώνουν, και το σώµα φτάνει στο Β. ∆ιαχωρίζεται το µαθηµατικό άπειρο από τη φυσική της κίνησης , όπως έγινε παντού σε κάθε κλάδο της φυσικής. Έτσι η µαθηµατική περιγραφή καθίσταται ένας χάρτης της κίνησης, µε κλίµακες κλπ. , αλλά όπως γνωρίζουµε οι χάρτες δεν περιγράφουν την κίνηση αλλά τη διαδροµή. Στην κλασσική µηχανική η διαφορική αιτιότητα του απειροστικού λογισµού είναι µια ακριβής προσέγγιση της κίνησης, γιατί για τα σώµατα της άµεσης εµπειρίας µας, τα χωροχρονικά κβάντα τείνουν στο µηδέν, αποδίδοντας την έννοια των
απειροστών
του Λάιµπνιτς. Η έννοια του µαθηµατικού συνεχούς που επακολούθησε αναφέρεται στους αριθµούς , τους οποίους θεωρήσαµε ως εικόνες της κάθε πραγµατικότητας, ακόµα και της κίνησης. Έτσι δικαιώσαµε τους Πυθαγόρειους που πίστευαν ότι «το παν αριθµός». Τα όρια του Κωσύ, το συνεχές των Ντέντεκιντ και Κάντορ, είναι µαθηµατικές
ανακαλύψεις για τους αριθµούς
, δεν σηµαίνουν τίποτα για τη φύση, πέρα από την καταλυτική προσοµοίωση και προσέγγισή της που πετυχαίνουν.
Γιώργος Μπαντές
www mpantes.gr
